Gödel proved that within any formal system sufficiently powerful to include ordinary arithmetic, there will always be undecidable statements that cannot be proved true, yet cannot be proved false. Turing proved that within any formal (or mechanical) system, not only are there functions that can be given a finite description yet cannot be computed by any finite machine in a finite amount of time, but there is no definite method to distinguish computable from noncomputable functions in advance. That’s the bad news. The good news is that, as Leibniz suggested, we appear to live in the best of all possible worlds, where the computable functions make life predictable enough to be survivable, while the noncomputable functions make life (and mathematical truth) unpredictable enough to remain interesting, no matter how far computers continue to advance.
George Dyson, Turing’s Cathedral, The origins of the Digital Universe, Vintage, 2011, p50.
Comment sortir de l’incomplétude radicale qu’instaure le théorème de Gödel? Doit-on se résigner à se taire? […] Comme on prouve, contre Zénon, le mouvement en marchant, les mathématiques se justifient et se fondent par leur succès dans leurs applications. C’est à traduire les mathématiques dans le dévoilement scientifique et technique du monde que von Neumann va dès lors s’employer. Comprenons bien la démarche à laquelle nous assistons ici: il ne s’agit pas d’une renonciation simple mais de l’invention d’un nouveau chemin qui passant par la physique (son article fondamental sur la mécanique quantique), la théorie ergodique, la géométrie, la théorie des jeux et l’économie vont le conduire à la construction des premiers ordinateurs. Les mathématiques se fondent en se réalisant dans la démarche scientifique et technique, telle est la leçon de von Neumann. Le mathématicien s’accomplit en devenant ingénieur. Dans les travaux les plus pratiques de von Neumann, ceux qui aboutissent à l’ordinateur séquentiel comme ceux qui préfigurent le réseau de neurones formels, une question est perpétuellement posée: notre univers est-il algorithmique? Notre pensée est-elle complètement formalisable et simulable par une machine de Turing? […] Nous sommes bien, au plus près des réalisations techniques, au coeur des mathématiques appliquées, engagés dans un problème de fondement. C’est à travers la conception et la construction de machines, un problème philosophique fondamental qui se trouve exposé. […] La recherche sur les fondements n’est pas arrêtéé par le théorème de Gödel, pas plus que par n’importe quel autre théorème d’incomplétude, elle se déploie ailleurs, autrement, sur le terrain où les machines s’attellent à des täches intellectuelles jusqu’alors privilèges de l’esprit humain.
La pensée et les machines: le mécanisme algorithmique de John von Neumann, Gérard Chazal, in Théorie générale et logique des automates, John von Neumann, collection Milieux, Champ Vallon, 1996, pp14-15.